Utilize os teoremas e propriedades para calcular os limites abaixo. Justifique os cálculos mencionando as propriedades utilizadas
a) lim z 1-i(|z|^2-i barz)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função no complexo:
lim z 1-i(|z|^2-i barz)
Aqui, estamos lidando com números complexos, então precisamos lembrar de algumas propriedades sobre magnitudes e conjugados. Vamos usar propriedades de funções contínuas para resolver esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que se uma função for contínua no ponto para onde z está se aproximando, a gente pode simplesmente substituir z por esse ponto no limite. No nosso caso, a função
f(z) = |z|^2 - i barz
é contínua em todos os números complexos, então podemos substituir diretamente z por .

Passo 3

Vamos calcular |z| = raiza^2 + b^2 quando |1 - i| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 . A magnitude de um número complexo |1 - i|^2 = (raiz2)^2 = 2 é dada por:
Então,
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular o conjugado de barz = a - bi quando 1 - i = 1 + i . O conjugado de um número complexo é:
Então,

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na expressão original:
|z|^2 - i barz = 2 - i(1 + i)
Vamos simplificar a parte do i(1) + i(i) = i + i^2 :
i + (-1) = i - 1
Sabemos que 2 - (i - 1) = 2 - i + 1 = 3 - i , então:
Portanto,

Resposta

O limite é .

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