Utilize os teoremas e propriedades para calcular os limites abaixo. Justifique os cálculos mencionando as propriedades utilizadas
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite de uma função no complexo:
Aqui, estamos lidando com números complexos, então precisamos lembrar de algumas propriedades sobre magnitudes e conjugados. Vamos usar propriedades de funções contínuas para resolver esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que se uma função for contínua no ponto para onde z está se aproximando, a gente pode simplesmente substituir z por esse ponto no limite. No nosso caso, a função
é contínua em todos os números complexos, então podemos substituir diretamente z por .

Passo 3

Vamos calcular quando . A magnitude de um número complexo é dada por:
Então,
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular o conjugado de quando . O conjugado de um número complexo é:
Então,

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na expressão original:
Vamos simplificar a parte do :
Sabemos que , então:
Portanto,

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Identifique o domínio natural (matemático) de
b)
Calcule as partes real e imaginária de em função do modulo e argumento de
b)
Determine se a sequência converge ou oliverge; se convergir oiche o limite.
Utilizando o conceito de derivada, identifique se a função é derivável em algum ponto e no caso positivo obtenha a regra de derivação da função e calcule o valor da derivada em um ponto escolhido adequadamente.
a)