Identifique o domínio natural (matemático) de
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar o domínio natural dela. Isso significa descobrir para quais valores de
a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções envolvendo números complexos e suas propriedades, principalmente considerando o módulo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
) para os quais a função está definida. No nosso caso, a função
envolve uma divisão, então precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Vamos analisar o denominador da função:
. Queremos que esse denominador seja diferente de zero para que a função esteja definida. Então, estabelecemos a condição:
Passo 4
Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que o módulo de
não pode ser igual a 1. O módulo de
, representado por
, é a distância de
até a origem no plano complexo. Portanto,
descreve todos os pontos que estão exatamente a uma unidade de distância da origem, formando um círculo de raio 1.
Passo 5
Assim, para que a função
esteja definida,
pode ser qualquer número complexo exceto aqueles que estão exatamente sobre o círculo de raio 1. Em termos matemáticos, isso é representado pelo conjunto:
Resposta
O domínio natural de
é o conjunto de todos os números complexos
tais que
. Em notação matemática:
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Calcule as partes real e imaginária de
em função do modulo e argumento de
b)
b)
Calcule as partes real e imaginária de
em função das partes real e imaginária de
a)
a)
Utilize os teoremas e propriedades para calcular os limites abaixo. Justifique os cálculos mencionando as propriedades utilizadas
a)
a)
Determine se a sequência converge ou oliverge; se convergir oiche o limite.