Identifique o domínio natural (matemático) de
b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o domínio natural dela. Isso significa descobrir para quais valores de a função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções envolvendo números complexos e suas propriedades, principalmente considerando o módulo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, ) para os quais a função está definida. No nosso caso, a função envolve uma divisão, então precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é permitida.

Passo 3

Vamos analisar o denominador da função: . Queremos que esse denominador seja diferente de zero para que a função esteja definida. Então, estabelecemos a condição:

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
Isso significa que o módulo de não pode ser igual a 1. O módulo de , representado por , é a distância de até a origem no plano complexo. Portanto, descreve todos os pontos que estão exatamente a uma unidade de distância da origem, formando um círculo de raio 1.

Passo 5

Assim, para que a função esteja definida, pode ser qualquer número complexo exceto aqueles que estão exatamente sobre o círculo de raio 1. Em termos matemáticos, isso é representado pelo conjunto:

Resposta

O domínio natural de é o conjunto de todos os números complexos tais que . Em notação matemática:

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