Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite.
- a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência
. Aqui,
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. A expressão
significa que estamos dividindo 1 por cada termo da sequência
, que cresce sem limite.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
conforme
aumenta. Sabemos que, quando
tende ao infinito (
),
tende a zero:
Isso porque, quanto maior for
, menor será
, chegando cada vez mais perto de zero.
Passo 4
Com isso em mente, vamos substituir esse limite na expressão original da sequência:
Aqui, usamos a propriedade dos limites que permite substituir o limite dentro da função contínua
.
Passo 5
Agora, sabemos que
. Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é 1.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
.
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- d)
;
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- e)