Determine se a sequência é convergente ou divergente, em caso de convergência calcule seu limite.
  • a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa calcular o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência . Aqui, é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. A expressão significa que estamos dividindo 1 por cada termo da sequência , que cresce sem limite.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de conforme aumenta. Sabemos que, quando tende ao infinito ( ), tende a zero:
Isso porque, quanto maior for , menor será , chegando cada vez mais perto de zero.

Passo 4

Com isso em mente, vamos substituir esse limite na expressão original da sequência:
Aqui, usamos a propriedade dos limites que permite substituir o limite dentro da função contínua .

Passo 5

Agora, sabemos que . Portanto, o limite da sequência quando tende ao infinito é 1.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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d)
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l)
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  • d) ;
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  • e)