Determine se a série convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem útil para analisar séries com fatoriais e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. A ideia é calcular o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Vamos definir . Agora, vamos encontrar :
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito:
Passo 7
Como o limite é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.