Determine se a série convergente ou divergente.
l) sumk=1^infty k^2 2^kk!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bem útil para analisar séries com fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. A ideia é calcular o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Vamos definir ak+1 = (k+1)^2 2^k+1(k+1)! . Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, vamos calcular ak+1ak = (k+1)^2 2^k+1(k+1)! times k!k^2 2^k = (k+1)^2 times 2(k+1) times k^2 = 2(k+1)k^2 :

Passo 5

Simplificando a expressão:
2(k+1)k^2 = 2k + 2k^2 = 2k + 2k^2

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limk to infty ( 2k + 2k^2 ) = 0 + 0 = 0 tende ao infinito:

Passo 7

Como o limite é 0, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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