Determine se a série convergente ou divergente.
d) sumn=1^infty nn^2+19

Passo 1

Nós temos que analisar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries infinitas e, especificamente, o Teste de Comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, observamos o comportamento dos termos da série à medida que fica grande. No denominador , o se torna irrelevante comparado a , então podemos simplificar a expressão para aproximadamente .

Passo 3

Sabemos que a série é a Série Harmônica, que é conhecida por divergir. Agora, vamos usar o Teste de Comparação Limite para comparar nossa série com a Série Harmônica.

Passo 4

Calculamos o limite da razão dos termos das duas séries:
limn to infty nn^2+191n = limn to infty n cdot nn^2+19 = limn to infty n^2n^2+19 = 1
Como o limite é um número finito positivo (neste caso, 1), podemos concluir que ambas as séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência.

Passo 5

Já que a Série Harmônica diverge e nossas séries têm o mesmo comportamento, concluímos que a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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