Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
. O que a gente precisa descobrir é se essa sequência cresce para um certo valor (convergente) ou não (divergente). Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites e propriedades de funções de raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Às vezes, quando temos raízes subtraídas, é legal racionalizar para facilitar a análise. Racionalizar significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada.
Então, multiplicamos e dividimos por
:
Passo 3
No numerador, aplicamos a identidade
. Assim, temos:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, a gente olha o limite quando
vai para o infinito:
À medida que
cresce,
também cresce sem parar. Então, o denominador
tende para o infinito.
Passo 5
Com o denominador indo para o infinito, a fração inteira tende para zero. Ou seja:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 0.
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