Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por . O que a gente precisa descobrir é se essa sequência cresce para um certo valor (convergente) ou não (divergente). Para isso, vamos usar alguns conceitos de limites e propriedades de funções de raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Às vezes, quando temos raízes subtraídas, é legal racionalizar para facilitar a análise. Racionalizar significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada.
Então, multiplicamos e dividimos por :

Passo 3

No numerador, aplicamos a identidade . Assim, temos:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, a gente olha o limite quando vai para o infinito:
À medida que cresce, também cresce sem parar. Então, o denominador tende para o infinito.

Passo 5

Com o denominador indo para o infinito, a fração inteira tende para zero. Ou seja:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 0.

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