Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: temos a sequência e precisamos descobrir se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, também queremos saber para onde ela converge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de limites de sequências, que nos ajuda a entender o comportamento de uma sequência quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência à medida que cresce. Observamos que no numerador temos e no denominador . Como fica muito grande, os termos de maior grau vão dominar. Isso significa que, para valores grandes de , vai ser o principal termo no numerador e no denominador.

Passo 3

Para simplificar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por , que é o maior grau presente na expressão:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada termo separadamente quando tende ao infinito:
  • tende a 0, porque quanto maior , menor fica esse valor.
  • também tende a 0 pelo mesmo motivo.
  • No denominador, permanece constante, e tende a 0.
Portanto, a expressão fica:

Resposta

A sequência é convergente e converge para 0.

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Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem: .
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