Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: temos a sequência
e precisamos descobrir se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, também queremos saber para onde ela converge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de limites de sequências, que nos ajuda a entender o comportamento de uma sequência quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência à medida que
cresce. Observamos que no numerador temos
e no denominador
. Como
fica muito grande, os termos de maior grau vão dominar. Isso significa que, para valores grandes de
,
vai ser o principal termo no numerador e
no denominador.
Passo 3
Para simplificar a análise, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por
, que é o maior grau presente na expressão:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada termo separadamente quando
tende ao infinito:
-
tende a 0, porque quanto maior , menor fica esse valor. -
também tende a 0 pelo mesmo motivo. - No denominador,
permanece constante, e tende a 0.
Portanto, a expressão fica:
Resposta
A sequência
é convergente e converge para 0.
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Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem:
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Use, se possível, o Teorema da Condição Necessária para decidir se as séries convergem ou divergem:
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Use, se possível, o Teste da Comparação para decidir se as séries convergem ou divergem:
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