Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o Teste da Integral pra decidir se a série
converge ou divergem. Então, vamos precisar entender como funciona o Teste da Integral e aplicar ele nessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a decidir sobre a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a função associada à série for positiva, contínua e decrescente, então:
- Se a integral de
de 1 até +∞ for finita, a série converge. - Se a integral for infinita, a série diverge.
Passo 3
Vamos identificar a função
da nossa série. Na série
, a função é
.
Passo 4
Agora, verificamos se
é positiva, contínua e decrescente para
:
- Positiva: Sim, porque o denominador
é sempre positivo. - Contínua: Sim, a função é contínua para todo
real. - Decrescente: Sim, conforme
aumenta, aumenta, então diminui.
Passo 5
Como a função satisfaz todas as condições, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral de
de 1 até +∞:
Passo 6
Sabemos que a integral de
é
. Então:
Passo 7
Calculando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
Então:
Passo 8
A integral resultou em
, que é um valor finito. Segundo o Teste da Integral, isso significa que a série
converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem:
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Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
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Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
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Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
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