Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o Teste da Integral pra decidir se a série converge ou divergem. Então, vamos precisar entender como funciona o Teste da Integral e aplicar ele nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a decidir sobre a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a função associada à série for positiva, contínua e decrescente, então:
  • Se a integral de de 1 até +∞ for finita, a série converge.
  • Se a integral for infinita, a série diverge.

Passo 3

Vamos identificar a função da nossa série. Na série , a função é .

Passo 4

Agora, verificamos se é positiva, contínua e decrescente para :
  • Positiva: Sim, porque o denominador é sempre positivo.
  • Contínua: Sim, a função é contínua para todo real.
  • Decrescente: Sim, conforme aumenta, aumenta, então diminui.

Passo 5

Como a função satisfaz todas as condições, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral de de 1 até +∞:

Passo 6

Sabemos que a integral de é . Então:

Passo 7

Calculando os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
Então:

Passo 8

A integral resultou em , que é um valor finito. Segundo o Teste da Integral, isso significa que a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. .
Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. .
Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. .