Use, se possível, o Teste da Integral para decidir se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty 11+n^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o Teste da Integral pra decidir se a série sumn=1^+infty 11+n^2 converge ou divergem. Então, vamos precisar entender como funciona o Teste da Integral e aplicar ele nessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste nos ajuda a decidir sobre a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Se a função associada à série for positiva, contínua e decrescente, então:
  • Se a integral de f(x) de 1 até +∞ for finita, a série converge.
  • Se a integral for infinita, a série diverge.

Passo 3

Vamos identificar a função f(x) da nossa série. Na série sumn=1^+infty 11+n^2, a função é f(x) = 11+x^2.

Passo 4

Agora, verificamos se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x >= 1:
  • Positiva: Sim, porque o denominador 1 + x^2 é sempre positivo.
  • Contínua: Sim, a função é contínua para todo x real.
  • Decrescente: Sim, conforme x aumenta, 1 + x^2 aumenta, então f(x) diminui.

Passo 5

Como a função satisfaz todas as condições, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral de f(x) de 1 até +∞:
integral1^+infty 11+x^2 dx

Passo 6

Sabemos que a integral de 11+x^2 é arctan(x). Então:
integral1^+infty 11+x^2 dx = [ arctan(x) ]1^+infty

Passo 7

Calculando os limites:
  • Quando x to +infty, arctan(x) to pi2.
  • Quando x = 1, arctan(1) = pi4.
Então:
[ arctan(x) ]1^+infty = pi2 - pi4 = pi4

Passo 8

A integral resultou em pi4, que é um valor finito. Segundo o Teste da Integral, isso significa que a série sumn=1^+infty 11+n^2 converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 11+n^2 converge.

Exercícios relacionados