Use, se possível, o Teorema da Condição Necessária para decidir se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty 12 n+1.

Passo 1

Vamos analisar o exercício que diz para usar o Teorema da Condição Necessária para decidir se a série sumn=1^+infty 12n+1 converge ou diverge. Vamos precisar entender o que é esse teorema e como aplicá-lo à série em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Teorema da Condição Necessária para a convergência de séries. Esse teorema nos diz que, para uma série sum an convergir, é necessário que o limite dos termos an quando n tende ao infinito seja zero. Em outras palavras:
limn to infty an = 0
Se esse limite não for zero, a série diverge. Mas se for zero, o teorema não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Temos:
an = 12n+1
Vamos calcular o limite de an quando n vai para o infinito:
limn to infty 12n+1 = 0
Isso significa que a condição necessária para a convergência é satisfeita.

Passo 4

No entanto, é importante lembrar que o Teorema da Condição Necessária não é suficiente para garantir a convergência da série. Ou seja, mesmo que o limite dos termos seja zero, a série pode convergir ou divergir. Para determinar isso com certeza, precisaríamos usar outro teste de convergência, como o teste da comparação ou o teste da integral.

Resposta

Usando o Teorema da Condição Necessária, verificamos que o limite dos termos é zero, o que é necessário para a convergência. Contudo, esse teorema não é suficiente para afirmar se a série sumn=1^+infty 12n+1 converge ou diverge. Portanto, não podemos concluir a convergência ou divergência da série apenas com esse teorema.

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