Use, se possível, o Teste da Comparação para decidir se as séries convergem ou divergem: .

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma série infinita: . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Comparação. Para isso, a gente vai precisar entender como comparar essa série com outra mais simples que já sabemos se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender o comportamento dela quando fica grande. Olhando para o numerador e o denominador , percebemos que, para valores grandes de , os termos de maior grau dominam. Ou seja, domina no numerador e domina o 5 no denominador. Então, podemos simplificar a expressão para entender melhor:

Passo 3

Agora que simplificamos, vemos que a expressão se comporta aproximadamente como para grande. Vamos comparar essa série com a série p:
Sabemos que essa série converges se e diverge se . No nosso caso, , que é menor que 1. Então, a série diverge.

Passo 4

Aplicando o Teste da Comparação, se nossa série original for maior ou igual a uma série que diverge, então a nossa série também diverge. Vamos comparar os termos:
Simplificando:
Então,

Passo 5

Como a série diverge e nossos termos são maiores ou iguais a uma constante vezes esses termos, pelo Teste da Comparação, nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação.

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Use, se possível, o Teorema da Condição Necessária para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. .
Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem: .