Use, se possível, o Teste da Comparação para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma série infinita:
. O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Comparação. Para isso, a gente vai precisar entender como comparar essa série com outra mais simples que já sabemos se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para entender o comportamento dela quando
fica grande. Olhando para o numerador
e o denominador
, percebemos que, para valores grandes de
, os termos de maior grau dominam. Ou seja,
domina
no numerador e
domina o 5 no denominador. Então, podemos simplificar a expressão para entender melhor:
Passo 3
Agora que simplificamos, vemos que a expressão se comporta aproximadamente como
para
grande. Vamos comparar essa série com a série p:
Sabemos que essa série converges se
e diverge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1. Então, a série
diverge.
Passo 4
Aplicando o Teste da Comparação, se nossa série original for maior ou igual a uma série que diverge, então a nossa série também diverge. Vamos comparar os termos:
Simplificando:
Então,
Passo 5
Como a série
diverge e nossos termos são maiores ou iguais a uma constante vezes esses termos, pelo Teste da Comparação, nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação.
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Use, se possível, o Teorema da Condição Necessária para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
.
Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem:
.
Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem:
.