Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Se for convergente, vamos descobrir para onde ela converge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um número específico quando
fica bem grande (tende ao infinito). Se ela não se aproxima de nenhum número, dizemos que ela é divergente.
Passo 3
Para descobrir se
converge, vamos calcular o limite dessa expressão quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos saber:
Passo 4
Uma estratégia comum para resolver limites envolvendo polinômios no numerador e denominador é dividir todos os termos pelo maior expoente de
presente na expressão. No nosso caso, o maior expoente é 1 (nos dois termos).
Então, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 5
Agora, analisamos o que acontece com cada termo quando
tende ao infinito:
-
tende a 0. - Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Como o limite existe e é igual a
, concluímos que a sequência é convergente e converge para
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Resposta
A sequência
é convergente e converge para
.
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