Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a sequência é convergente ou divergente. Se for convergente, vamos descobrir para onde ela converge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser convergente ou divergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um número específico quando fica bem grande (tende ao infinito). Se ela não se aproxima de nenhum número, dizemos que ela é divergente.

Passo 3

Para descobrir se converge, vamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Ou seja, queremos saber:

Passo 4

Uma estratégia comum para resolver limites envolvendo polinômios no numerador e denominador é dividir todos os termos pelo maior expoente de presente na expressão. No nosso caso, o maior expoente é 1 (nos dois termos).
Então, dividimos numerador e denominador por :

Passo 5

Agora, analisamos o que acontece com cada termo quando tende ao infinito:
  • tende a 0.
  • Portanto, a expressão fica:

Passo 6

Como o limite existe e é igual a , concluímos que a sequência é convergente e converge para .

Resposta

A sequência é convergente e converge para .

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