Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
y' + y = t e^t;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial e classificá-la. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial que seguem a forma padrão:
Aqui, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Como , temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação original em uma forma que facilita a resolução.

Passo 5

Com o fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 6

Vamos integrar:
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, usamos integração por partes.

Passo 7

Aplicando integração por partes para :
  • Seja e
  • Então, e
Agora, aplicamos a fórmula:
Então:

Passo 8

Voltando à nossa equação integrada:
Agora, vamos isolar dividindo tudo por :
Simplificando os expoentes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Classificação

A equação diferencial dada é uma equação linear de primeira ordem.

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