Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
e classificá-la. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial que seguem a forma padrão:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Como
, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação original em uma forma que facilita a resolução.
Passo 5
Com o fator integrante, o lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
:
Agora, podemos integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 6
Vamos integrar:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, usamos integração por partes.
Passo 7
Aplicando integração por partes para
:
- Seja
e - Então,
e
Agora, aplicamos a fórmula:
Então:
Passo 8
Voltando à nossa equação integrada:
Agora, vamos isolar
dividindo tudo por
:
Simplificando os expoentes:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Classificação
A equação diferencial dada é uma equação linear de primeira ordem.