Use, se possível, o Teste da Razão para decidir se as séries convergem ou divergem: .

Passo 1

Vamos analisar a série infinita . Para decidir se essa série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando os termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é:

Passo 3

O Teste da Razão funciona da seguinte maneira: calculamos o limite da razão entre o termo e o termo quando tende ao infinito. A fórmula fica assim:
Dependendo do valor de , temos:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular a razão :
Simplificando os termos:
Como estamos interessados no valor absoluto:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite :
Sabemos que , então:

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem: .
Determine se a sequência é convergente ou divergente. No caso de sequência convergente determine para onde a sequência converge. .
Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
;