Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
e também classificar essa equação. Vamos precisar usar o método para equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, fazemos uma substituição simples:
Então,
Passo 6
Agora, temos:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 7
Finalmente, vamos classificar a equação. Como ela é linear e de primeira ordem, e conseguimos encontrar a solução geral usando um fator integrante, confirmamos que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
é uma constante arbitrária. A equação é classificada como uma equação diferencial linear de primeira ordem.