Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
y' + t^2 * y = t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial e também classificar essa equação. Vamos precisar usar o método para equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da equação. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, e .

Passo 3

Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa encontrar um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para . Para o lado direito, fazemos uma substituição simples:
Então,

Passo 6

Agora, temos:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 7

Finalmente, vamos classificar a equação. Como ela é linear e de primeira ordem, e conseguimos encontrar a solução geral usando um fator integrante, confirmamos que é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária. A equação é classificada como uma equação diferencial linear de primeira ordem.

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