Use, se possível, Séries Geométricas para decidir se as séries convergem ou divergem: sumn=1^+infty 37^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar Séries Geométricas para descobrir se a série converge ou diverge. A matéria aqui é sobre Séries Numéricas e mais especificamente sobre Séries Geométricas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funciona uma série geométrica e qual a condição pra ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma Série Geométrica. É uma série na forma , onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série, ou seja, o fator pelo qual multiplicamos para passar de um termo pro próximo.

Passo 3

Agora, para saber se uma série geométrica converge ou diverge, a gente olha o valor de :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série: sumn=1^+infty 37^n = 3 sumn=1^+infty (17)^n .
Primeiro, vamos reescrever a série numa forma mais parecida com a série geométrica padrão:
Aqui, vemos que:

Passo 5

Agora, vamos verificar a razão |r| = |17| = 17 < 1 :
Como , pela regra das séries geométricas, a série converge.

Resposta

A série converge.

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