Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^+infty cos (n^2+12 n^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e propriedades do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o termo geral da série quando fica muito grande, ou seja, quando tende ao infinito. O termo geral é . Para verificar a convergência da série, vamos aplicar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral não for zero, a série diverge.

Passo 3

Vamos calcular o limite do termo geral quando limn to infty cos (n^2+12 n^2+1) vai para o infinito:
n^2+12 n^2+1 = n^22 n^2 + 12 n^2+1 = 12 + 12 n^2+1
Primeiro, simplificamos a fração dentro do cosseno:
limn to infty n^2+12 n^2+1 = 12
Quando limn to infty cos (n^2+12 n^2+1) = cos(12) tende ao infinito, vai para zero. Então, temos:
Portanto:

Passo 4

Sabemos que limn to infty cos (n^2+12 n^2+1) = cos(12) neq 0 é um número real e diferente de zero. Assim, o limite do termo geral não é zero:

Resposta

A série é divergente.

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