Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e propriedades do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o termo geral da série quando
fica muito grande, ou seja, quando
tende ao infinito. O termo geral é
. Para verificar a convergência da série, vamos aplicar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral não for zero, a série diverge.
Passo 3
Vamos calcular o limite do termo geral quando
vai para o infinito:
Primeiro, simplificamos a fração dentro do cosseno:
Quando
tende ao infinito,
vai para zero. Então, temos:
Portanto:
Passo 4
Sabemos que
é um número real e diferente de zero. Assim, o limite do termo geral não é zero:
Resposta
A série é divergente.