Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada.
a_n = e^(1/n) / n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. Também precisamos verificar se essa sequência é limitada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, crescimento de funções e como comparar termos da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como a sequência se comporta conforme aumenta. Vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente:
  • Numerador: . Sabemos que, conforme cresce, diminui e se aproxima de zero. Como , o numerador está se aproximando de 1.
  • Denominador: . Conforme aumenta, cresce rapidamente.
Então, temos uma fração onde o numerador está se aproximando de 1 e o denominador está aumentando sem limites. Isso sugere que está diminuindo conforme aumenta.

Passo 3

Para confirmar se a sequência é decrescente, vamos verificar se para todo natural.
Calculando :
Agora, vamos comparar com :
Isso é verdade porque:
  • já que e a função exponencial é crescente.
  • .
Portanto, , confirmando que a sequência é decrescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Já vimos que está diminuindo e o numerador está se aproximando de 1, enquanto o denominador cresce. Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Então, a sequência está se aproximando de 0. Além disso, como para todo , temos:
Como é sempre positiva, também é sempre positiva. Portanto, a sequência está limitada entre 0 e um valor máximo (por exemplo, ).

Resposta

A sequência é decrescente e está limitada.

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