Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona. Também precisamos verificar se essa sequência é limitada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, crescimento de funções e como comparar termos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como a sequência se comporta conforme
aumenta. Vamos olhar para o numerador e o denominador separadamente:
-
Numerador:
. Sabemos que, conforme cresce, diminui e se aproxima de zero. Como , o numerador está se aproximando de 1. -
Denominador:
. Conforme aumenta, cresce rapidamente.
Então, temos uma fração onde o numerador está se aproximando de 1 e o denominador está aumentando sem limites. Isso sugere que
está diminuindo conforme
aumenta.
Passo 3
Para confirmar se a sequência é decrescente, vamos verificar se
para todo
natural.
Calculando
:
Agora, vamos comparar
com
:
Isso é verdade porque:
-
já que e a função exponencial é crescente. -
.
Portanto,
, confirmando que a sequência é decrescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Já vimos que
está diminuindo e o numerador está se aproximando de 1, enquanto o denominador cresce. Vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Então, a sequência está se aproximando de 0. Além disso, como
para todo
, temos:
Como
é sempre positiva,
também é sempre positiva. Portanto, a sequência está limitada entre 0 e um valor máximo (por exemplo,
).
Resposta
A sequência
é decrescente e está limitada.