Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede pra gente descobrir se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona. Também já nos diz que ela é limitada. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento das sequências usando derivadas e propriedades de crescimento. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja,
. É decrescente se cada termo é menor que o anterior,
. Se alterna entre aumentar e diminuir, então não é monótona.
Passo 3
Para analisar isso, podemos olhar para a função que gera a sequência:
. Vamos usar derivadas para ver se essa função está aumentando ou diminuindo.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Primeiro, lembra que para funções do tipo
, a derivada é
. Aqui,
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas:
-
então -
então
Passo 6
Aplicando na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 7
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
. O denominador
é sempre positivo para
. Portanto, o sinal de
depende do numerador
.
Passo 8
Resolvendo
:
E para
,
.
Passo 9
Isso significa que:
- Para
, , então a sequência está crescendo. - Para
, , então a sequência está decrescendo. - No ponto
, a derivada é zero, indicando um máximo.
Passo 10
Como a sequência aumenta até
e depois começa a diminuir, ela não é monotônica em todo o seu domínio. Ou seja, não é monótona.
Resposta
A sequência
não é monótona porque aumenta até
e depois diminui.