Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada.
a_n = raiz(n) / (n + 2)

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede pra gente descobrir se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. Também já nos diz que ela é limitada. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento das sequências usando derivadas e propriedades de crescimento. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência ser crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, . É decrescente se cada termo é menor que o anterior, . Se alterna entre aumentar e diminuir, então não é monótona.

Passo 3

Para analisar isso, podemos olhar para a função que gera a sequência: . Vamos usar derivadas para ver se essa função está aumentando ou diminuindo.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Primeiro, lembra que para funções do tipo , a derivada é . Aqui, e .

Passo 5

Calculando as derivadas:
  • então
  • então

Passo 6

Aplicando na fórmula:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 7

Agora, vamos analisar o sinal da derivada . O denominador é sempre positivo para . Portanto, o sinal de depende do numerador .

Passo 8

Resolvendo :
E para , .

Passo 9

Isso significa que:
  • Para , , então a sequência está crescendo.
  • Para , , então a sequência está decrescendo.
  • No ponto , a derivada é zero, indicando um máximo.

Passo 10

Como a sequência aumenta até e depois começa a diminuir, ela não é monotônica em todo o seu domínio. Ou seja, não é monótona.

Resposta

A sequência não é monótona porque aumenta até e depois diminui.

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