Faça os seguintes itens:
c) Prove que A ⊆ R é aberto se, e somente se, A ∩ fr(A) = ∅.

Passo 1

Aqui, queremos provar que um conjunto é aberto se, e somente se, a interseção de com a sua fronteira é vazia, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos e a definição de fronteira de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser aberto. Em topologia, um conjunto é aberto se, para cada ponto em , existe um intervalo ao redor de que está completamente contido em . Isso garante que pontos de não estão na “borda” de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto , denotada por . A fronteira consiste em todos os pontos que estão “limítrofes” de , ou seja, pontos onde qualquer intervalo ao redor contém pontos que estão tanto dentro quanto fora de .

Passo 4

Primeiro, vamos provar que se é aberto, então . Suponha que seja aberto. Então, nenhum ponto de está na fronteira de , porque se estivesse, existiria um intervalo ao redor desse ponto que sairia de , o que contraria a definição de aberto. Portanto, não há pontos comuns entre e .

Passo 5

Em seguida, vamos mostrar o contrário: se , então é aberto. Se não há pontos comuns entre e sua fronteira, isso significa que todos os pontos de estão em seu interior. Ou seja, para cada ponto em , existe um intervalo ao redor de que está completamente dentro de . Isso satisfaz a definição de um conjunto aberto.

Resposta

Portanto, mostramos que um conjunto é aberto se, e somente se, .

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