Faça os seguintes itens:
c) Prove que
é aberto se, e somente se,
.
c) Prove que
Passo 1
Aqui, queremos provar que um conjunto
é aberto se, e somente se, a interseção de
com a sua fronteira
é vazia, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos e a definição de fronteira de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto ser aberto. Em topologia, um conjunto
é aberto se, para cada ponto
em
, existe um intervalo ao redor de
que está completamente contido em
. Isso garante que pontos de
não estão na “borda” de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a fronteira de um conjunto
, denotada por
. A fronteira consiste em todos os pontos que estão “limítrofes” de
, ou seja, pontos onde qualquer intervalo ao redor contém pontos que estão tanto dentro quanto fora de
.
Passo 4
Primeiro, vamos provar que se
é aberto, então
. Suponha que
seja aberto. Então, nenhum ponto de
está na fronteira de
, porque se estivesse, existiria um intervalo ao redor desse ponto que sairia de
, o que contraria a definição de aberto. Portanto, não há pontos comuns entre
e
.
Passo 5
Em seguida, vamos mostrar o contrário: se
, então
é aberto. Se não há pontos comuns entre
e sua fronteira, isso significa que todos os pontos de
estão em seu interior. Ou seja, para cada ponto
em
, existe um intervalo ao redor de
que está completamente dentro de
. Isso satisfaz a definição de um conjunto aberto.
Resposta
Portanto, mostramos que um conjunto
é aberto se, e somente se,
.