Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se
a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a sequência
é crescente ou decrescente. Para isso, vamos usar um método que compara cada termo com o próximo. Precisamos calcular a razão
e ver se ela é maior ou menor que 1. Se for maior que 1, a sequência é crescente; se for menor que 1, é decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para
. Basta substituir
por
na fórmula original:
Passo 3
Agora, vamos calcular a razão
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Para facilitar a análise, podemos observar o comportamento dessa razão à medida que
aumenta. Observando os coeficientes de
no numerador e no denominador, percebemos que os termos de maior grau determinam o comportamento para grandes valores de
.
Passo 5
Analisando os coeficientes de
no numerador e no denominador:
- No numerador:
- No denominador:
Assim, para grandes valores de, a razão tende a .
Passo 6
Como a razão tende a 1, precisamos analisar mais detalhadamente os termos constantes para ver se ela é ligeiramente maior ou menor que 1. Expandindo o numerador e o denominador:
Passo 7
Agora, a razão fica:
Comparando os termos, vemos que o denominador é menor que o numerador (porque
é menor que
). Portanto, a razão
é maior que 1.
Resposta
Como
, a sequência
é crescente.
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a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.
Encontre as soluções gerais, assumindo
Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se
a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.
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a sequência é crescente. Se
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