Encontre as soluções gerais, assumindo

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: , onde . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, especificamente do tipo equação de Euler-Cauchy. Para resolver, vamos precisar assumir uma forma para a solução e encontrar os valores que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição para deixar ela no formato padrão da equação de Euler-Cauchy. Vamos definir . Assim, nossa equação fica:
Agora, temos uma equação com coeficientes que são polinômios de , o que facilita a aplicação do método de solução.

Passo 3

Sabemos que para uma equação de Euler-Cauchy da forma , a solução geral pode ser assumida como . Vamos substituir essa forma na nossa equação para encontrar .
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Factorizando :

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Como temos uma raiz dupla, a solução geral para a equação de Euler-Cauchy com raiz repetida é:
Onde e são constantes.

Resposta

A solução geral da equação é:

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Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se a sequência é crescente. Se a sequência é decrescente.
Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se a sequência é crescente. Se a sequência é decrescente.