Encontre as soluções gerais, assumindo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
, onde
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, especificamente do tipo equação de Euler-Cauchy. Para resolver, vamos precisar assumir uma forma para a solução e encontrar os valores que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição para deixar ela no formato padrão da equação de Euler-Cauchy. Vamos definir
. Assim, nossa equação fica:
Agora, temos uma equação com coeficientes que são polinômios de
, o que facilita a aplicação do método de solução.
Passo 3
Sabemos que para uma equação de Euler-Cauchy da forma
, a solução geral pode ser assumida como
. Vamos substituir essa forma na nossa equação para encontrar
.
Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Factorizando
:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral para a equação de Euler-Cauchy com raiz repetida é:
Onde
e
são constantes.
Resposta
A solução geral da equação é:
Exercícios relacionados
Encontre as soluções gerais, assumindo
Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se
a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.
Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se
a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.