Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se a(n+1)/a(n) > 1 a sequência é crescente. Se a_(n+1)/a_n < 1 a sequência é decrescente.
a_n = raiz(n + 3) / (6n + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência está crescendo ou decrescente. Para isso, vamos usar a ideia de comparar termos consecutivos: se a razão for maior que 1, a sequência está crescendo; se for menor que 1, está decrescente. Vamos precisar de conhecimentos básicos sobre sequências e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a razão entre o termo e :
Aqui, simplificamos substituindo por nos termos da sequência.

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão. Multiplicando os numeradores e denominadores:
Podemos fatorar termos comuns:
Substituindo na expressão:

Passo 4

Vamos analisar agora a expressão:
Para entender se essa razão é maior ou menor que 1, podemos comparar os numeradores e denominadores separadamente.

Passo 5

Observando o numerador e o denominador , percebemos que, para valores grandes de , o comportamento dominante será:
Então, aproximadamente:
Mas precisamos ser mais precisos para determinar a tendência.

Passo 6

Vamos reescrever a razão dividindo numerador e denominador por :
E para os termos lineares:
Multiplicando as aproximações:
Isso mostra que a razão é um pouco menor que 1 para grande.

Resposta

A sequência é decrescente.

Exercícios relacionados