Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se
a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
está crescendo ou decrescente. Para isso, vamos usar a ideia de comparar termos consecutivos: se a razão
for maior que 1, a sequência está crescendo; se for menor que 1, está decrescente. Vamos precisar de conhecimentos básicos sobre sequências e manipulação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a razão entre o termo
e
:
Aqui, simplificamos substituindo
por
nos termos da sequência.
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Multiplicando os numeradores e denominadores:
Podemos fatorar termos comuns:
Substituindo na expressão:
Passo 4
Vamos analisar agora a expressão:
Para entender se essa razão é maior ou menor que 1, podemos comparar os numeradores e denominadores separadamente.
Passo 5
Observando o numerador
e o denominador
, percebemos que, para valores grandes de
, o comportamento dominante será:
Então, aproximadamente:
Mas precisamos ser mais precisos para determinar a tendência.
Passo 6
Vamos reescrever a razão dividindo numerador e denominador por
:
E para os termos lineares:
Multiplicando as aproximações:
Isso mostra que a razão
é um pouco menor que 1 para
grande.
Resposta
A sequência
é decrescente.
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Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se
a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.
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a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.