Encontre as soluções gerais, assumindo
Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão: precisamos encontrar as soluções gerais da equação diferencial
, onde
. Vamos usar conhecimento de equações diferenciais ordinárias, especificamente do tipo equações de Euler (ou Cauchy-Euler), que são úteis quando os coeficientes das derivadas são polinomiais em
. Para resolver, precisaremos supor uma solução da forma
e encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Vamos supor que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos determinar. Assim, precisamos calcular as derivadas de
em relação a
:
Passo 3
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 4
Podemos fatorar
na equação:
Como
e
, podemos igualar o termo entre colchetes a zero:
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 6
Como as raízes são complexas,
, com
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
e
:
Resposta
As soluções gerais da equação
para
são:
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Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se
a sequência é crescente. Se
a sequência é decrescente.