Encontre as soluções gerais, assumindo

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão: precisamos encontrar as soluções gerais da equação diferencial , onde . Vamos usar conhecimento de equações diferenciais ordinárias, especificamente do tipo equações de Euler (ou Cauchy-Euler), que são úteis quando os coeficientes das derivadas são polinomiais em . Para resolver, precisaremos supor uma solução da forma e encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 2

Vamos supor que a solução tem a forma , onde é um número que vamos determinar. Assim, precisamos calcular as derivadas de em relação a :

Passo 3

Substituindo , e na equação original:
Simplificando cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 4

Podemos fatorar na equação:
Como e , podemos igualar o termo entre colchetes a zero:
Simplificando:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática para :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:

Passo 6

Como as raízes são complexas, , com e , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Resposta

As soluções gerais da equação para são:

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Determine se a sequência é crescente ou decrescente. (Obs: você pode utilizar o argumento de que se a sequência é crescente. Se a sequência é decrescente.