Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência converge ou não. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar nosso trabalho. Sabemos que , então podemos reescrever a sequência assim:

Passo 3

Agora, precisamos analisar o comportamento dessa sequência quando tende ao infinito. Vamos olhar para as duas partes da fração separadamente: e .

Passo 4

A função oscila entre -1 e 1 para todos os valores de . Ou seja, não cresce nem decresce; ela apenas varia dentro desse intervalo.

Passo 5

Por outro lado, cresce sem limites quando aumenta. Isso significa que o denominador da nossa fração fica cada vez maior.

Passo 6

Quando temos uma função que oscila entre valores finitos, como , dividida por uma função que cresce sem limites, como , o valor da fração tende a zero. Isso acontece porque o denominador está crescendo muito mais rapidamente do que o numerador oscila.

Passo 7

Matematicamente, podemos dizer que:

Resposta

A sequência converge e o limite é 0.

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