Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou não. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar nosso trabalho. Sabemos que
, então podemos reescrever a sequência assim:
Passo 3
Agora, precisamos analisar o comportamento dessa sequência quando
tende ao infinito. Vamos olhar para as duas partes da fração separadamente:
e
.
Passo 4
A função
oscila entre -1 e 1 para todos os valores de
. Ou seja,
não cresce nem decresce; ela apenas varia dentro desse intervalo.
Passo 5
Por outro lado,
cresce sem limites quando
aumenta. Isso significa que o denominador da nossa fração fica cada vez maior.
Passo 6
Quando temos uma função que oscila entre valores finitos, como
, dividida por uma função que cresce sem limites, como
, o valor da fração tende a zero. Isso acontece porque o denominador está crescendo muito mais rapidamente do que o numerador oscila.
Passo 7
Matematicamente, podemos dizer que:
Resposta
A sequência converge e o limite é 0.
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