Dê o termo de ordem
das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral de ordem
da sequência dada, verificar quais dela convergem e, para essas que convergem, encontrar o limite. Além disso, tem que escrever também o termo de ordem
. A matéria aqui é sobre sequências e convergência. Vamos precisar entender como identificar o termo geral e aplicar conceitos de limites para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a sequência:
Parece que cada termo está formado por
elevado a uma potência, dividido pelo fatorial daquele número. O fatorial de um número
, representado por
, é o produto de todos os inteiros positivos até
.
Então, o termo geral de ordem
é:
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência dessa sequência. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que, para limites desse tipo, o fatorial cresce muito mais rápido que uma exponencial. Portanto,
cresce mais rapidamente que
, fazendo com que o limite seja zero.
Passo 4
Como a sequência converge, o limite é:
Passo 5
Por fim, vamos escrever o termo de ordem
:
Resposta
O termo geral de ordem
é
. A sequência converge e o limite é
. O termo de ordem
é
.