Dê o termo de ordem n das seqüências abaixo e verifique quais seqüências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1). (2, 2^21 cdot 2, 2^31 cdot 2 cdot 3, 2^41 cdot 2 cdot 3 cdot 4, 2^51 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5, cdots)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral de ordem da sequência dada, verificar quais dela convergem e, para essas que convergem, encontrar o limite. Além disso, tem que escrever também o termo de ordem . A matéria aqui é sobre sequências e convergência. Vamos precisar entender como identificar o termo geral e aplicar conceitos de limites para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a sequência:
(2, 2^21 cdot 2, 2^31 cdot 2 cdot 3, 2^41 cdot 2 cdot 3 cdot 4, 2^51 cdot 2 cdot 3 cdot 4 cdot 5, cdots)
Parece que cada termo está formado por an = 2^nn! elevado a uma potência, dividido pelo fatorial daquele número. O fatorial de um número , representado por , é o produto de todos os inteiros positivos até .
Então, o termo geral de ordem é:

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência dessa sequência. Para isso, precisamos calcular o limite de limn to infty 2^nn! quando tende ao infinito:
Sabemos que, para limites desse tipo, o fatorial cresce muito mais rápido que uma exponencial. Portanto, cresce mais rapidamente que , fazendo com que o limite seja zero.

Passo 4

Como a sequência converge, o limite é:
limn to infty 2^nn! = 0

Passo 5

Por fim, vamos escrever o termo de ordem an+1 = 2^n+1(n+1)! :

Resposta

O termo geral de ordem é . A sequência converge e o limite é . O termo de ordem é .

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