Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. O conteúdo envolvido aqui é o estudo de limites de sequências e convergência. Para resolver, vamos precisar entender propriedades de limites, logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito. Para facilitar, vamos aplicar o logaritmo natural para simplificar a expressão:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
:
Sabemos que, quando
é muito grande,
é pequeno, então podemos usar a aproximação
para
pequeno.
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso significa que:
Passo 5
Se o limite do logaritmo natural de
é 0, então o limite de
é
.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 1.
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