Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Vamos analisar a sequência
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência diverge ou converge, e se convergir, encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de fatoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como se comporta
conforme
aumenta. Uma ferramenta útil para aproximar
(n fatorial) para valores grandes de
é a fórmula de Stirling.
Passo 3
A fórmula de Stirling aproxima
da seguinte maneira:
Para simplificar, vamos considerar a aproximação sem o termo
, já que ele se torna menos significativo quando
é grande:
Passo 4
Agora, vamos calcular
usando a aproximação de Stirling:
Aqui, usamos a propriedade das raízes que diz
, e como
, simplificamos para
.
Passo 5
Substituindo essa aproximação na sequência original:
Veja que
, então a expressão simplifica para
.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.
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