Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Vamos analisar a sequência . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência diverge ou converge, e se convergir, encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de fatoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como se comporta conforme aumenta. Uma ferramenta útil para aproximar (n fatorial) para valores grandes de é a fórmula de Stirling.

Passo 3

A fórmula de Stirling aproxima da seguinte maneira:
Para simplificar, vamos considerar a aproximação sem o termo , já que ele se torna menos significativo quando é grande:

Passo 4

Agora, vamos calcular usando a aproximação de Stirling:
Aqui, usamos a propriedade das raízes que diz , e como , simplificamos para .

Passo 5

Substituindo essa aproximação na sequência original:
Veja que , então a expressão simplifica para .

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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