Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos entender a questão! A gente precisa descobrir se a sequência
, onde
é um número real, é divergente ou convergente. Se for convergente, também precisamos achar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e crescimento de funções exponenciais versus polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
cresce muito mais rápido que qualquer potência de
, ou seja,
. Isso geralmente sugere que, conforme
fica bem grande, o denominador da nossa fração vai dominar o numerador.
Passo 3
Para formalizar isso, podemos usar o limite de
quando
tende ao infinito. Se esse limite for 0, a sequência converge para 0. Se for infinito ou não existir, a sequência é divergente.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Como
cresce exponencialmente e
cresce polinomialmente, sabemos que o limite tende a 0.
Passo 5
Logo, concluímos que a sequência
é convergente e o seu limite é 0.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.
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