Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão! A gente precisa descobrir se a sequência , onde é um número real, é divergente ou convergente. Se for convergente, também precisamos achar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e crescimento de funções exponenciais versus polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cresce muito mais rápido que qualquer potência de , ou seja, . Isso geralmente sugere que, conforme fica bem grande, o denominador da nossa fração vai dominar o numerador.

Passo 3

Para formalizar isso, podemos usar o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for 0, a sequência converge para 0. Se for infinito ou não existir, a sequência é divergente.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Como cresce exponencialmente e cresce polinomialmente, sabemos que o limite tende a 0.

Passo 5

Logo, concluímos que a sequência é convergente e o seu limite é 0.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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