Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a sequência é divergente ou convergente. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite dela. Vamos precisar usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para entender melhor o comportamento dela quando cresce. Observamos que ambos os termos estão elevados a , então podemos combinar as frações:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as frações dentro dos parênteses:
Então, a sequência fica:

Passo 4

Para encontrar o limite dessa sequência quando tende ao infinito, podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por :
Quando tende ao infinito, os termos e vão a zero, então a fração se aproxima de:

Passo 5

Agora, nossa sequência fica aproximada de quando é muito grande. Sabemos que para qualquer , então parece que o limite seria 1. No entanto, precisamos verificar mais detalhadamente porque os termos que vão a zero podem influenciar o limite.

Passo 6

Vamos reescrever a fração de forma a facilitar a análise:
Então, a sequência fica:

Passo 7

Agora, podemos utilizar a propriedade que, quando temos uma expressão da forma , ela tende para quando tende ao infinito. No nosso caso, temos:

Passo 8

Portanto, o limite da sequência quando tende ao infinito é .

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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