Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se a sequência
é divergente ou convergente. Se convergir, a gente também precisa encontrar o limite dela. Vamos precisar usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para entender melhor o comportamento dela quando
cresce. Observamos que ambos os termos estão elevados a
, então podemos combinar as frações:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar as frações dentro dos parênteses:
Então, a sequência fica:
Passo 4
Para encontrar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Quando
tende ao infinito, os termos
e
vão a zero, então a fração se aproxima de:
Passo 5
Agora, nossa sequência fica aproximada de
quando
é muito grande. Sabemos que
para qualquer
, então parece que o limite seria 1. No entanto, precisamos verificar mais detalhadamente porque os termos que vão a zero podem influenciar o limite.
Passo 6
Vamos reescrever a fração de forma a facilitar a análise:
Então, a sequência fica:
Passo 7
Agora, podemos utilizar a propriedade que, quando temos uma expressão da forma
, ela tende para
quando
tende ao infinito. No nosso caso, temos:
Passo 8
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é
.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.
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