Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem uma sequência definida por . O objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também quer saber qual é o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é , que é de grau 3. No denominador, o termo de maior grau é , que é de grau 4.

Passo 3

Quando analisamos limites de funções racionais (isto é, quocientes de polinômios), a comparação dos graus dos polinômios nos dá uma boa indicação sobre o comportamento da sequência para indo para o infinito.

Passo 4

Aqui, o grau do numerador (3) é menor que o grau do denominador (4). Nesse caso, sabemos que a razão entre essas expressões tende a zero à medida que cresce.

Passo 5

Para confirmar isso, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por (o maior grau presente):

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme tende ao infinito:
  • tende a 0
  • tende a 0
  • tende a 0
  • tende a 0
Então, a expressão simplifica para:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 0.

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Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes e :
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