Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem uma sequência definida por
. O objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também quer saber qual é o limite dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é
, que é de grau 3. No denominador, o termo de maior grau é
, que é de grau 4.
Passo 3
Quando analisamos limites de funções racionais (isto é, quocientes de polinômios), a comparação dos graus dos polinômios nos dá uma boa indicação sobre o comportamento da sequência para
indo para o infinito.
Passo 4
Aqui, o grau do numerador (3) é menor que o grau do denominador (4). Nesse caso, sabemos que a razão entre essas expressões tende a zero à medida que
cresce.
Passo 5
Para confirmar isso, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por
(o maior grau presente):
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme
tende ao infinito:
-
tende a 0 -
tende a 0 -
tende a 0 -
tende a 0
Então, a expressão simplifica para:
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é 0.
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Resolva as EDPs abaixo nas variáveis independentes
e
:
©
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