Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
é divergente ou convergente. Se for convergente, precisamos achar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de radicais com expoentes fracionários.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a sequência. Temos uma raiz enésima (ou n-ésima) de um polinômio no numerador. Quando lidamos com limites de sequências que envolvem raízes enésimas, é útil reescrever a expressão de uma forma que facilite a análise do comportamento quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos reescrever a sequência
da seguinte forma:
Podemos fatorar o termo de maior grau no interior da raiz, que é
:
Passo 4
Agora, vamos separar a raiz enésima em dois fatores:
Sabemos que
. Vamos analisar esse termo.
Passo 5
Observamos que:
Isso porque
tende a 0 quando
cresce indefinidamente.
Passo 6
Agora, vamos analisar o segundo fator:
Quando
tende ao infinito, os termos
e
tendem a 0, então:
Passo 7
Juntando os dois resultados, temos:
Portanto, à medida que
cresce, a sequência
se aproxima de 1.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é 1.
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