Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, precisamos achar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de radicais com expoentes fracionários.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a sequência. Temos uma raiz enésima (ou n-ésima) de um polinômio no numerador. Quando lidamos com limites de sequências que envolvem raízes enésimas, é útil reescrever a expressão de uma forma que facilite a análise do comportamento quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos reescrever a sequência da seguinte forma:
Podemos fatorar o termo de maior grau no interior da raiz, que é :

Passo 4

Agora, vamos separar a raiz enésima em dois fatores:
Sabemos que . Vamos analisar esse termo.

Passo 5

Observamos que:
Isso porque tende a 0 quando cresce indefinidamente.

Passo 6

Agora, vamos analisar o segundo fator:
Quando tende ao infinito, os termos e tendem a 0, então:

Passo 7

Juntando os dois resultados, temos:
Portanto, à medida que cresce, a sequência se aproxima de 1.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 1.

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