Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência definida por , onde é um número positivo. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela tem um limite quando tende ao infinito) ou se ela diverge (não tem limite). Se ela convergir, também precisamos encontrar qual é esse limite.

Passo 2

Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de conforme fica cada vez maior, ou seja, conforme tende ao infinito.
Primeiro, é importante entender como as funções e se comportam quando cresce. A função logarítmica cresce, mas faz isso de forma bem mais lenta comparada a qualquer potência de . Por outro lado, (com ) cresce bastante rápido conforme aumenta.
Então, intuitivamente, o denominador está “superando” o numerador quando fica muito grande. Isso significa que a fração inteira deve estar diminuindo à medida que cresce.

Passo 3

Vamos formalizar isso calculando o limite da sequência conforme tende ao infinito:
Para calcular esse limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como .
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, temos:
Como o limite resulta em 0, concluímos que a sequência converge para 0.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em ). ;
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: ;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.