Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma sequência definida por
, onde
é um número positivo. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela tem um limite quando
tende ao infinito) ou se ela diverge (não tem limite). Se ela convergir, também precisamos encontrar qual é esse limite.
Passo 2
Para resolver isso, vamos analisar o comportamento de
conforme
fica cada vez maior, ou seja, conforme
tende ao infinito.
Primeiro, é importante entender como as funções
e
se comportam quando
cresce. A função logarítmica
cresce, mas faz isso de forma bem mais lenta comparada a qualquer potência de
. Por outro lado,
(com
) cresce bastante rápido conforme
aumenta.
Então, intuitivamente, o denominador
está “superando” o numerador
quando
fica muito grande. Isso significa que a fração inteira
deve estar diminuindo à medida que
cresce.
Passo 3
Vamos formalizar isso calculando o limite da sequência conforme
tende ao infinito:
Para calcular esse limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como
.
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Como o limite resulta em 0, concluímos que a sequência converge para 0.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.
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Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em
).
;
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.