Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se convergir, temos que achar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como as funções trigonométricas como o seno se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos do numerador e do denominador separadamente. No numerador temos e no denominador . Sabemos que, conforme aumenta, os termos lineares e vão dominar os outros termos (porque e são termos constantes ou que não crescem com ).

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por , que é o maior grau presente na expressão:
Isso ajuda a visualizar melhor o comportamento da sequência conforme cresce.

Passo 4

Agora, vamos analisar os termos que estão divididos por :
  • : Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, vai se aproximar de 0 quando vai para o infinito.
  • : Similarmente, esse termo também vai para 0 conforme aumenta.

Passo 5

Substituindo essas informações na expressão simplificada, temos:
Portanto, a sequência converge e o limite dela é .

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em ). ;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: ;