Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se convergir, temos que achar o limite dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender como as funções trigonométricas como o seno se comportam quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos do numerador e do denominador separadamente. No numerador temos
e no denominador
. Sabemos que, conforme
aumenta, os termos lineares
e
vão dominar os outros termos (porque
e
são termos constantes ou que não crescem com
).
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
, que é o maior grau presente na expressão:
Isso ajuda a visualizar melhor o comportamento da sequência conforme
cresce.
Passo 4
Agora, vamos analisar os termos que estão divididos por
:
-
: Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Então, vai se aproximar de 0 quando vai para o infinito. -
: Similarmente, esse termo também vai para 0 conforme aumenta.
Passo 5
Substituindo essas informações na expressão simplificada, temos:
Portanto, a sequência converge e o limite dela é
.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em
).
;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
;