Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente precisa descobrir se a sequência
é divergente ou convergente. Se for convergente, queremos saber qual é o limite dela. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra envolvendo fatorial e entender como esses termos se comportam quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
e
. O fatorial de um número, representado por
, é o produto de todos os números inteiros positivos até
. Por exemplo,
. Então,
é o fatorial de
e
é o fatorial de
multiplicado por ele mesmo.
Passo 3
Agora, vamos analisar como essa sequência se comporta quando
cresce. Uma maneira de fazer isso é usar a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para fatoriais grandes. A fórmula de Stirling diz que:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar expressões com fatoriais grandes, facilitando o cálculo dos limites.
Passo 4
Aplicando a fórmula de Stirling na nossa sequência, temos:
e
Agora, substituindo essas aproximações na expressão da sequência:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, observamos que
cresce muito mais rápido que
diminui. Ou seja, conforme
aumenta,
fica cada vez maior sem parar.
Resposta
A sequência
é divergente, ou seja, não converge para nenhum limite, pois cresce indefinidamente conforme
aumenta.