Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite. a_n = (2n)! / (n!)^2

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente precisa descobrir se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, queremos saber qual é o limite dela. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra envolvendo fatorial e entender como esses termos se comportam quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é e . O fatorial de um número, representado por , é o produto de todos os números inteiros positivos até . Por exemplo, . Então, é o fatorial de e é o fatorial de multiplicado por ele mesmo.

Passo 3

Agora, vamos analisar como essa sequência se comporta quando cresce. Uma maneira de fazer isso é usar a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para fatoriais grandes. A fórmula de Stirling diz que:
Essa fórmula nos ajuda a simplificar expressões com fatoriais grandes, facilitando o cálculo dos limites.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Stirling na nossa sequência, temos:
e
Agora, substituindo essas aproximações na expressão da sequência:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, observamos que cresce muito mais rápido que diminui. Ou seja, conforme aumenta, fica cada vez maior sem parar.

Resposta

A sequência é divergente, ou seja, não converge para nenhum limite, pois cresce indefinidamente conforme aumenta.

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