Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a sequência é divergente ou convergente. Se ela for convergente, também precisamos achar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e entender como o fatorial e as potências de se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é e . O fatorial é o produto de todos os números inteiros positivos até , ou seja, . Já é multiplicado por ele mesmo vezes.

Passo 3

Agora, vamos analisar a razão . Podemos reescrever isso como:
Cada fração (onde vai de 1 até ) é menor ou igual a 1, já que .

Passo 4

Observando essa multiplicação, percebemos que estamos multiplicando números que vão de até 1. À medida que cresce, a maioria desses termos fica bem menor que 1, fazendo com que o produto total diminua.

Passo 5

Para ter uma ideia mais clara, vamos considerar o limite quando tende para infinito:
Sabemos que cresce menos rapidamente que para valores grandes de . Portanto, a razão entre eles tende a zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Mostre que as seqüencias e com convergem para 1 .
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Observe a sequência . Supondo que a lei de formação dessa sequência permaneça, determine o e o termos.