Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a sequência
é divergente ou convergente. Se ela for convergente, também precisamos achar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e entender como o fatorial e as potências de
se comportam quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
e
. O fatorial
é o produto de todos os números inteiros positivos até
, ou seja,
. Já
é
multiplicado por ele mesmo
vezes.
Passo 3
Agora, vamos analisar a razão
. Podemos reescrever isso como:
Cada fração
(onde
vai de 1 até
) é menor ou igual a 1, já que
.
Passo 4
Observando essa multiplicação, percebemos que estamos multiplicando números que vão de
até 1. À medida que
cresce, a maioria desses termos fica bem menor que 1, fazendo com que o produto total diminua.
Passo 5
Para ter uma ideia mais clara, vamos considerar o limite quando
tende para infinito:
Sabemos que
cresce menos rapidamente que
para valores grandes de
. Portanto, a razão entre eles tende a zero.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é 0.
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Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Mostre que as seqüencias
e
com
convergem para 1 .
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Observe a sequência
. Supondo que a lei de formação dessa sequência permaneça, determine o
e o
termos.