Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Então, a gente tem uma sequência definida por
. O objetivo aqui é descobrir se essa sequência vai para um número específico conforme
cresce (convergente) ou se ela simplesmente não se estabelece em nenhum valor (divergente). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do expoente. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a sequência como:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito. Sabemos que quando
aumenta,
tende a 0, então a base
tende para 1. Mas o expoente
está crescendo sem limites. Temos uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o limite exponencial.
Passo 4
Lembrando que:
Podemos adaptar isso para o nosso caso. Vamos reescrever
de uma forma que se assemelhe a essa expressão conhecida:
Aqui, usamos a propriedade
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite da expressão no expoente:
Sabemos que, para
perto de 0,
. Então:
Portanto:
Passo 6
Com isso, voltamos à expressão original:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 1.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Observe a sequência
. Supondo que a lei de formação dessa sequência permaneça, determine o
e o
termos.
Escreva os quatro primeiros termos de cada sequência e descubra a fórmula do
-ésimo termo em função de
.
e
;