Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite. a_n = ((n + 1) / n)^(raiz(n))

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência definida por . O objetivo aqui é descobrir se essa sequência vai para um número específico conforme cresce (convergente) ou se ela simplesmente não se estabelece em nenhum valor (divergente). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do expoente. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a sequência como:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito. Sabemos que quando aumenta, tende a 0, então a base tende para 1. Mas o expoente está crescendo sem limites. Temos uma forma do tipo , que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar o limite exponencial.

Passo 4

Lembrando que:
Podemos adaptar isso para o nosso caso. Vamos reescrever de uma forma que se assemelhe a essa expressão conhecida:
Aqui, usamos a propriedade .

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite da expressão no expoente:
Sabemos que, para perto de 0, . Então:
Portanto:

Passo 6

Com isso, voltamos à expressão original:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 1.

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