Mostre que as seqüencias e com convergem para 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as sequências e com convergem para 1. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências, e para resolver, vamos usar algumas propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência , que é equivalente a . Para entender o comportamento dessa sequência quando cresce, vamos usar logaritmos.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural na sequência, temos:
Agora, precisamos encontrar o limite de quando tende ao infinito.

Passo 4

Sabemos que cresce para infinito, mas muito mais lentamente que . Matematicamente, o limite é:

Passo 5

Voltando à nossa sequência original, se tende a 0, então:
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos analisar a sequência , que é igual a , onde . Aqui, é uma constante.

Passo 7

Tomando o logaritmo natural novamente:
E o limite de quando tende ao infinito é:

Passo 8

Como é uma constante, temos:

Passo 9

Assim, voltando à sequência original:
Portanto, .

Resposta

Ambas as sequências e com convergem para 1 quando tende ao infinito.

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Escreva os quatro primeiros termos de cada sequência e descubra a fórmula do -ésimo termo em função de . e ;
Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em ). ;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
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