Mostre que as seqüencias
e
com
convergem para 1 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as sequências
e
com
convergem para 1. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências, e para resolver, vamos usar algumas propriedades de logaritmos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a sequência
, que é equivalente a
. Para entender o comportamento dessa sequência quando
cresce, vamos usar logaritmos.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural na sequência, temos:
Agora, precisamos encontrar o limite de
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Sabemos que
cresce para infinito, mas muito mais lentamente que
. Matematicamente, o limite é:
Passo 5
Voltando à nossa sequência original, se
tende a 0, então:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a sequência
, que é igual a
, onde
. Aqui,
é uma constante.
Passo 7
Tomando o logaritmo natural novamente:
E o limite de
quando
tende ao infinito é:
Passo 8
Como
é uma constante, temos:
Passo 9
Assim, voltando à sequência original:
Portanto,
.
Resposta
Ambas as sequências
e
com
convergem para 1 quando
tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Escreva os quatro primeiros termos de cada sequência e descubra a fórmula do
-ésimo termo em função de
.
e
;
Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em
).
;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.