Mostre que as seqüencias raiz(n)(n) e raiz(a)^(1/n) com a > 0 convergem para 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que as sequências raiz(n)(n) e raiz(a)^(1/n) com a > 0 convergem para 1. Isso está ligado ao conteúdo de limites de sequências, e para resolver, vamos usar algumas propriedades de logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a sequência raiz(n)(n), que é equivalente a . Para entender o comportamento dessa sequência quando n cresce, vamos usar logaritmos.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural na sequência, temos:
Agora, precisamos encontrar o limite de ln(n)/n quando n tende ao infinito.

Passo 4

Sabemos que cresce para infinito, mas muito mais lentamente que n. Matematicamente, o limite é:

Passo 5

Voltando à nossa sequência original, se tende a 0, então:
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos analisar a sequência raiz(a)^(1/n), que é igual a , onde . Aqui, a é uma constante.

Passo 7

Tomando o logaritmo natural novamente:
E o limite de quando n tende ao infinito é:

Passo 8

Como é uma constante, temos:

Passo 9

Assim, voltando à sequência original:
Portanto, .

Resposta

Ambas as sequências raiz(n)(n) e raiz(a)^(1/n) com a > 0 convergem para 1 quando n tende ao infinito.

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