Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é determinar se a sequência
é divergente ou convergente. Se for convergente, também vamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e potências. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência para entender melhor como ela se comporta quando
cresce. A gente pode dividir cada termo do numerador e do denominador por
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
tende ao infinito. À medida que
aumenta,
e
vão se aproximando de zero. Então, temos:
Isso significa que para valores muito grandes de
, a fração se aproxima de
.
Passo 4
Agora, vamos voltar à expressão original da sequência:
Sabemos que
é menor que 1. Quando temos uma base menor que 1 elevada a uma potência que cresce sem limite (
), o resultado tende a zero.
Passo 5
Para formalizar isso, usamos a propriedade de limites que diz:
No nosso caso,
, que está entre 0 e 1. Portanto:
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é 0.
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