Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é determinar se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, também vamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de sequências e potências. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da potência para entender melhor como ela se comporta quando cresce. A gente pode dividir cada termo do numerador e do denominador por :

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando tende ao infinito. À medida que aumenta, e vão se aproximando de zero. Então, temos:
Isso significa que para valores muito grandes de , a fração se aproxima de .

Passo 4

Agora, vamos voltar à expressão original da sequência:
Sabemos que é menor que 1. Quando temos uma base menor que 1 elevada a uma potência que cresce sem limite ( ), o resultado tende a zero.

Passo 5

Para formalizar isso, usamos a propriedade de limites que diz:
No nosso caso, , que está entre 0 e 1. Portanto:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 0.

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