Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
O exercício pede para descobrir se a sequência
, onde
, é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de raízes e potências.
Passo 2
Vamos analisar o termo geral da sequência:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 3
Observamos que
, o que significa que
cresce mais rápido que
conforme
aumenta. Assim, para valores grandes de
, o termo
domina sobre
.
Passo 4
Devido a esse domínio de
, podemos aproximar
por
quando
é muito grande:
Passo 5
Usando essa aproximação, a sequência fica:
Isso sugere que, conforme
tende ao infinito,
se aproxima de
.
Passo 6
Para confirmar rigorosamente, reescrevemos
da seguinte forma:
Como
, à medida que
cresce,
tende a 0. Então:
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.
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