Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

O exercício pede para descobrir se a sequência , onde , é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de raízes e potências.

Passo 2

Vamos analisar o termo geral da sequência:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 3

Observamos que , o que significa que cresce mais rápido que conforme aumenta. Assim, para valores grandes de , o termo domina sobre .

Passo 4

Devido a esse domínio de , podemos aproximar por quando é muito grande:

Passo 5

Usando essa aproximação, a sequência fica:
Isso sugere que, conforme tende ao infinito, se aproxima de .

Passo 6

Para confirmar rigorosamente, reescrevemos da seguinte forma:
Como , à medida que cresce, tende a 0. Então:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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