Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, precisamos achar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função seno. Sabemos que oscila entre -1 e 1 para todo número real . Ou seja, independentemente do valor de , nunca sai desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece com o denominador da nossa sequência, que é . Conforme aumenta, tende ao infinito. Portanto, o denominador está crescendo sem limites.

Passo 4

Vamos combinar essas duas observações. Temos uma função que está limitada entre -1 e 1, dividida por que está aumentando para infinito. Então, a expressão está basicamente dividindo um número pequeno (entre -1 e 1) por um número cada vez maior.

Passo 5

Matematicamente, sabemos que se uma sequência onde é limitada e tende para infinito, então tende para 0. Isso porque o numerador não cresce, mas o denominador cresce muito, fazendo a fração diminuir.

Passo 6

Aplicando isso à nossa sequência , concluímos que o limite dessa sequência é 0.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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