Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para determinar se a sequência
é divergente ou convergente. Se for convergente, precisamos achar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função seno. Sabemos que
oscila entre -1 e 1 para todo número real
. Ou seja, independentemente do valor de
,
nunca sai desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com o denominador da nossa sequência, que é
. Conforme
aumenta,
tende ao infinito. Portanto, o denominador está crescendo sem limites.
Passo 4
Vamos combinar essas duas observações. Temos uma função
que está limitada entre -1 e 1, dividida por
que está aumentando para infinito. Então, a expressão
está basicamente dividindo um número pequeno (entre -1 e 1) por um número cada vez maior.
Passo 5
Matematicamente, sabemos que se uma sequência
onde
é limitada e
tende para infinito, então
tende para 0. Isso porque o numerador não cresce, mas o denominador cresce muito, fazendo a fração diminuir.
Passo 6
Aplicando isso à nossa sequência
, concluímos que o limite dessa sequência é 0.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.
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Escreva os cinco primeiros termos de cada sequência (supondo que começa em
).
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