Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, vamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e técnicas de álgebra envolvendo radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender o comportamento da sequência à medida que cresce. Observamos que temos a diferença entre duas raízes quadradas que aumentam com . Para facilitar a análise, vamos simplificar essa expressão.

Passo 3

Uma técnica útil para simplificar expressões com radicais é multiplicar pelo conjugado. O conjugado de é . Vamos multiplicar o numerador e o denominador por esse conjugado:

Passo 4

Multiplicando, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito. À medida que aumenta, também aumenta. Então, o denominador tende a .

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é .

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