Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se a sequência
é divergente ou convergente. Se for convergente, vamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e técnicas de álgebra envolvendo radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender o comportamento da sequência à medida que
cresce. Observamos que temos a diferença entre duas raízes quadradas que aumentam com
. Para facilitar a análise, vamos simplificar essa expressão.
Passo 3
Uma técnica útil para simplificar expressões com radicais é multiplicar pelo conjugado. O conjugado de
é
. Vamos multiplicar o numerador e o denominador por esse conjugado:
Passo 4
Multiplicando, obtemos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito. À medida que
aumenta,
também aumenta. Então, o denominador
tende a
.
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é
.
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