Determine se a sequência
definida por
é limitada.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede para a gente descobrir se a sequência
definida por
é limitada. A matéria envolvida aqui é a análise de sequências, especificamente, entender o comportamento de uma sequência para ver se seus termos ficam dentro de certos limites. Vamos precisar saber como a função logarítmica se comporta conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real que é um limite superior para todos os seus termos e outro que é um limite inferior. Ou seja, todos os
devem estar entre esses dois valores, não podendo crescer ou diminuir sem fim.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que a função logarítmica natural cresce sem limites conforme
aumenta. À medida que
fica maior,
também aumenta, embora de forma mais lenta comparada a funções como
ou
.
Passo 4
Vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Esse limite infinito indica que a sequência não tem um limite superior finito.
Passo 5
Como a sequência
não tem um limite superior finito, ela não pode ser limitada. Não existe um número real que contenha todos os
quando
cresce sem parar.
Resposta
A sequência
definida por
não é limitada.
Exercícios relacionados
Prove que a sequência
definida por
é limitada.
Encontre a fórmula geral da sequência
definida por
e
para
.
Mostre que a sequência
definida por
converge para zero.