Determine se a sequência definida por é limitada.

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente descobrir se a sequência definida por é limitada. A matéria envolvida aqui é a análise de sequências, especificamente, entender o comportamento de uma sequência para ver se seus termos ficam dentro de certos limites. Vamos precisar saber como a função logarítmica se comporta conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se existe um número real que é um limite superior para todos os seus termos e outro que é um limite inferior. Ou seja, todos os devem estar entre esses dois valores, não podendo crescer ou diminuir sem fim.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Sabemos que a função logarítmica natural cresce sem limites conforme aumenta. À medida que fica maior, também aumenta, embora de forma mais lenta comparada a funções como ou .

Passo 4

Vamos verificar o limite de quando tende ao infinito:
Esse limite infinito indica que a sequência não tem um limite superior finito.

Passo 5

Como a sequência não tem um limite superior finito, ela não pode ser limitada. Não existe um número real que contenha todos os quando cresce sem parar.

Resposta

A sequência definida por não é limitada.

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Encontre a fórmula geral da sequência definida por e para .
Mostre que a sequência definida por converge para zero.