Encontre a fórmula geral da sequência
definida por
e
para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva: o primeiro termo é
e cada termo seguinte é obtido multiplicando o termo anterior por 3 e adicionando 1, ou seja,
para
. O objetivo é encontrar uma fórmula geral que nos permita calcular qualquer termo
sem precisar calcular todos os anteriores. Para isso, vamos usar conceitos de equações de recorrência e soluções de equações lineares.
Passo 2
Vamos começar observando a relação de recorrência:
. Isso significa que cada termo é 3 vezes o anterior mais 1. Para resolver essa recorrência e encontrar uma fórmula geral para
, vamos separar a parte homogênea da parte particular da equação.
Passo 3
Primeiro, consideramos a equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação homogênea é da forma
, onde
é uma constante que será determinada usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Suponhamos que a solução particular seja uma constante, ou seja,
. Substituindo na equação, temos:
Resolvendo para
:
Passo 5
A solução geral da equação de recorrência é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
, então:
Resposta
A fórmula geral da sequência é: