Encontre a fórmula geral da sequência a_n definida por a1 = 2 e a_{n+1} = 3 a_{n} + 1 para n ≥ 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida de forma recursiva: o primeiro termo é e cada termo seguinte é obtido multiplicando o termo anterior por 3 e adicionando 1, ou seja, para . O objetivo é encontrar uma fórmula geral que nos permita calcular qualquer termo sem precisar calcular todos os anteriores. Para isso, vamos usar conceitos de equações de recorrência e soluções de equações lineares.

Passo 2

Vamos começar observando a relação de recorrência: . Isso significa que cada termo é 3 vezes o anterior mais 1. Para resolver essa recorrência e encontrar uma fórmula geral para , vamos separar a parte homogênea da parte particular da equação.

Passo 3

Primeiro, consideramos a equação homogênea associada, que é . A solução geral dessa equação homogênea é da forma , onde é uma constante que será determinada usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Suponhamos que a solução particular seja uma constante, ou seja, . Substituindo na equação, temos:
Resolvendo para :

Passo 5

A solução geral da equação de recorrência é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que , então:

Resposta

A fórmula geral da sequência é:

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