Mostre que a sequência definida por converge para zero.

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a sequência , definida por , converge para zero. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar como cada parte dessa expressão se comporta conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte . Sabemos que, conforme fica maior, diminui e se aproxima de zero. Isso porque dividir 1 por um número cada vez maior resulta em um número cada vez menor.

Passo 3

Agora, vamos analisar . Esse termo alterna entre 1 e -1 conforme aumenta. Ou seja, ele oscila entre positivo e negativo, mas seu valor absoluto nunca excede 1.

Passo 4

Juntando as duas partes, temos . Aqui, um termo que oscila entre 1 e -1 está sendo multiplicado por um termo que está se aproximando de zero. Isso significa que, mesmo que a sequência oscile, os valores vão ficando cada vez menores em magnitude.

Passo 5

Para concluir, sabemos que se temos uma sequência onde os termos oscilam entre valores fixos (como -1 e 1) e esses valores estão sendo multiplicados por algo que tende a zero, o produto final também tende a zero. Portanto, a sequência converge para zero.

Resposta

A sequência converge para zero.

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Mostre que a sequência definida por converge e encontre o seu limite.