Mostre que a sequência
definida por
converge para zero.
Passo 1
Vamos ver o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a sequência
, definida por
, converge para zero. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e analisar como cada parte dessa expressão se comporta conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte
. Sabemos que, conforme
fica maior,
diminui e se aproxima de zero. Isso porque dividir 1 por um número cada vez maior resulta em um número cada vez menor.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Esse termo alterna entre 1 e -1 conforme
aumenta. Ou seja, ele oscila entre positivo e negativo, mas seu valor absoluto nunca excede 1.
Passo 4
Juntando as duas partes, temos
. Aqui, um termo que oscila entre 1 e -1 está sendo multiplicado por um termo que está se aproximando de zero. Isso significa que, mesmo que a sequência oscile, os valores vão ficando cada vez menores em magnitude.
Passo 5
Para concluir, sabemos que se temos uma sequência onde os termos oscilam entre valores fixos (como -1 e 1) e esses valores estão sendo multiplicados por algo que tende a zero, o produto final também tende a zero. Portanto, a sequência
converge para zero.
Resposta
A sequência
converge para zero.
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definida por
e
para
.
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definida por
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definida por
.
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definida por
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