Determine se a sequência onde converge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a sequência , definida por , converge. Isso envolve o estudo de limites de sequências, um tópico da análise matemática onde analisamos o comportamento de uma sequência à medida que cresce indefinidamente. Para resolver, precisaremos entender as propriedades dos limites e funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de . O seno de para valores inteiros de oscila entre e , ou seja, para todo . Isso significa que o valor de não cresce nem diminui indefinidamente, mas permanece sempre dentro dessa faixa.

Passo 3

Agora, consideramos a expressão completa da sequência: . Sabemos que está limitado, então a parte tende a zero conforme cresce. Quando multiplicamos um termo limitado por algo que tende a zero, o produto também tende a zero.

Passo 4

Formalmente, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich). Como , multiplicando por , obtemos:
Feito isso, sabemos que ambos os limites das extremidades convergem para zero:
Pelo Teorema do Confronto, o limite de também é zero.

Resposta

A sequência converge para .

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a) Mostre que se a série é convergente.
b)Dada uma sequência de termos positivos tal que . Pode-se provar que nestas condições temos . Use este fato para provar que se a sequência é tal que então
Sejam e definidas assim:
Mostre que:
a) .
b) é crescente.
c) é decrescente.
d) e tem o mesmo limite chamado de .
Prove que, para todo ,
Prove que se , para todo , então .