Determine se a sequência
onde
converge.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a sequência
, definida por
, converge. Isso envolve o estudo de limites de sequências, um tópico da análise matemática onde analisamos o comportamento de uma sequência à medida que
cresce indefinidamente. Para resolver, precisaremos entender as propriedades dos limites e funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de
. O seno de
para valores inteiros de
oscila entre
e
, ou seja,
para todo
. Isso significa que o valor de
não cresce nem diminui indefinidamente, mas permanece sempre dentro dessa faixa.
Passo 3
Agora, consideramos a expressão completa da sequência:
. Sabemos que
está limitado, então a parte
tende a zero conforme
cresce. Quando multiplicamos um termo limitado por algo que tende a zero, o produto também tende a zero.
Passo 4
Formalmente, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich). Como
, multiplicando por
, obtemos:
Feito isso, sabemos que ambos os limites das extremidades convergem para zero:
Pelo Teorema do Confronto, o limite de
também é zero.
Resposta
A sequência
converge para
.