Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a sequência , definida por , converge. Isso envolve o estudo de limites de sequências, um tópico da análise matemática onde analisamos o comportamento de uma sequência à medida que cresce indefinidamente. Para resolver, precisaremos entender as propriedades dos limites e funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de . O seno de para valores inteiros de oscila entre e , ou seja, para todo . Isso significa que o valor de não cresce nem diminui indefinidamente, mas permanece sempre dentro dessa faixa.
Passo 3
Agora, consideramos a expressão completa da sequência: . Sabemos que está limitado, então a parte tende a zero conforme cresce. Quando multiplicamos um termo limitado por algo que tende a zero, o produto também tende a zero.
Passo 4
Formalmente, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich). Como , multiplicando por , obtemos:
Feito isso, sabemos que ambos os limites das extremidades convergem para zero:
Pelo Teorema do Confronto, o limite de também é zero.