Determine se a sequência t_n onde tn = 1/n sen(n) converge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a sequência t_n, definida por , converge. Isso envolve o estudo de limites de sequências, um tópico da análise matemática onde analisamos o comportamento de uma sequência à medida que n cresce indefinidamente. Para resolver, precisaremos entender as propriedades dos limites e funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de . O seno de n para valores inteiros de n oscila entre -1 e 1, ou seja, para todo n. Isso significa que o valor de não cresce nem diminui indefinidamente, mas permanece sempre dentro dessa faixa.

Passo 3

Agora, consideramos a expressão completa da sequência: . Sabemos que está limitado, então a parte 1/n tende a zero conforme n cresce. Quando multiplicamos um termo limitado por algo que tende a zero, o produto também tende a zero.

Passo 4

Formalmente, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandwich). Como , multiplicando por 1/n, obtemos:
Feito isso, sabemos que ambos os limites das extremidades convergem para zero:
Pelo Teorema do Confronto, o limite de também é zero.

Resposta

A sequência t_n converge para 0.

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