a) Mostre que se r>1 a série sumn=2^infty 1n(log n)^r é convergente.
b)Dada uma sequência de termos positivos (xn)n in N tal que lim n infty xnxn-1=a. Pode-se provar que nestas condições temos lim n infty raiz[n]xn=a. Use este fato para provar que se a sequência (xn)n in N é tal que lim n infty xn=a então
lim n infty raiz[n]x1 x2 cdots xn=a

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui! Temos duas partes no exercício:
a) Mostrar que se , a série é convergente.
b) Usar um fato sobre sequências para provar que se uma sequência converge para , então .
Para resolver esses problemas, vamos precisar falar sobre séries e limites de sequências, além de aplicar testes de convergência para séries e propriedades de limites.

Passo 2

Parte a) Vamos começar mostrando que a série converge quando .
Primeiro, precisamos escolher um teste de convergência adequado. Uma boa opção aqui é o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparáveis a integrais.

Passo 3

Teste da Integral: Se é uma função positiva, contínua e decrescente para e converge, então a série também converge.
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos analisar a integral correspondente:
integral2^infty 1x(log x)^r dx
Fazendo a substituição integrallog 2^infty 1u^r du , então . A integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa integral:
integrallog 2^infty u^-r du
Essa é uma integral de potência que converge se a potência for menor que , ou seja, se .
Assim, concluímos que a integral converge quando .

Passo 6

Pelo Teste da Integral, já que a integral converge para , a série também converge.
Conclusão da Parte a): A série é convergente para .

Passo 7

Parte b) Agora, vamos provar que se limn to infty raiz[n]x1 x2 cdots xn = a , então:
Sabemos que , e que sob essa condição .

Passo 8

Vamos considerar o produto raiz[n]x1 x2 cdots xn = ( x1 x2 cdots xn )^1/n . Tomando a raiz n-ésima, temos:
Queremos encontrar o limite disso quando .

Passo 9

Sabemos que se , então para grandes valores de , os termos estão próximos de . Isso sugere que o produto cresce de forma que sua raiz n-ésima tende a .

Passo 10

Usando o fato dado, que , podemos observar que a raiz n-ésima do produto dos termos também tenderá a , pois cada termo individual está se aproximando de .
Conclusão da Parte b): .

Resposta

a) A série é convergente para .
b) Se , então .

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