a) Mostre que se
a série
é convergente.
b)Dada uma sequência de termos positivos
tal que
. Pode-se provar que nestas condições temos
. Use este fato para provar que se a sequência
é tal que
então
b)Dada uma sequência de termos positivos
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui! Temos duas partes no exercício:
a) Mostrar que se
, a série
é convergente.
b) Usar um fato sobre sequências para provar que se uma sequência
converge para
, então
.
Para resolver esses problemas, vamos precisar falar sobre séries e limites de sequências, além de aplicar testes de convergência para séries e propriedades de limites.
Passo 2
Parte a) Vamos começar mostrando que a série
converge quando
.
Primeiro, precisamos escolher um teste de convergência adequado. Uma boa opção aqui é o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries comparáveis a integrais.
Passo 3
Teste da Integral: Se
é uma função positiva, contínua e decrescente para
e
converge, então a série
também converge.
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos analisar a integral correspondente:
Fazendo a substituição
, então
. A integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa integral:
Essa é uma integral de potência que converge se a potência
for menor que
, ou seja, se
.
Assim, concluímos que a integral converge quando
.
Passo 6
Pelo Teste da Integral, já que a integral converge para
, a série
também converge.
Conclusão da Parte a): A série é convergente para
.
Passo 7
Parte b) Agora, vamos provar que se
, então:
Sabemos que
, e que sob essa condição
.
Passo 8
Vamos considerar o produto
. Tomando a raiz n-ésima, temos:
Queremos encontrar o limite disso quando
.
Passo 9
Sabemos que se
, então para grandes valores de
, os termos
estão próximos de
. Isso sugere que o produto
cresce de forma que sua raiz n-ésima tende a
.
Passo 10
Usando o fato dado, que
, podemos observar que a raiz n-ésima do produto dos termos também tenderá a
, pois cada termo individual está se aproximando de
.
Conclusão da Parte b):
.
Resposta
a) A série
é convergente para
.
b) Se
, então
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
definidas assim:
Mostre que:
a) .
b) é crescente.
c) é decrescente.
d) e
tem o mesmo limite chamado de
.
a)
b)
c)
d)
Se uma sequência de Cauchy,
possui uma subsequência convergindo para
, mostre que
.
Determine se a sequência
onde
converge.
Prove que, para todo
,