Prove que se
, para todo
, então
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que provar que se a distância entre
e
é menor que qualquer número positivo
, ou seja,
para todo
, então isso necessariamente significa que
tem que ser igual a
. A gente vai precisar entender um pouquinho sobre limites e a definição formal de limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que
significa. Essa é a definição de limite, onde estamos dizendo que a distância entre
e
pode ser feita tão pequena quanto quisermos, desde que
seja positivo.
Passo 3
Agora, imagine que
não seja igual a
. Se
for diferente de
, então
será um número positivo fixo, ou seja, uma distância fixa entre
e
.
Passo 4
Mas, segundo o enunciado, essa distância
tem que ser menor que todo e qualquer
positivo que a gente escolher. Isso inclui números muito, muito pequenos, como
ou até mesmo
.
Passo 5
Se
é um número positivo fixo, não importa quão pequeno a gente escolha
, sempre vai existir um
menor que
. Isso cria uma contradição, porque a gente não pode ter
para todos os
se
é fixo e positivo.
Passo 6
Portanto, a única possibilidade que não gera essa contradição é se
, o que significa que
.
Resposta
Assim, mostramos que se
para todo
, então necessariamente
.