Então, vamos lá! A gente tem que provar que se a distância entre e é menor que qualquer número positivo , ou seja, para todo , então isso necessariamente significa que tem que ser igual a . A gente vai precisar entender um pouquinho sobre limites e a definição formal de limite para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa. Essa é a definição de limite, onde estamos dizendo que a distância entre e pode ser feita tão pequena quanto quisermos, desde que seja positivo.
Passo 3
Agora, imagine que não seja igual a . Se for diferente de , então será um número positivo fixo, ou seja, uma distância fixa entre e .
Passo 4
Mas, segundo o enunciado, essa distância tem que ser menor que todo e qualquer positivo que a gente escolher. Isso inclui números muito, muito pequenos, como ou até mesmo .
Passo 5
Se é um número positivo fixo, não importa quão pequeno a gente escolha , sempre vai existir um menor que . Isso cria uma contradição, porque a gente não pode ter para todos os se é fixo e positivo.
Passo 6
Portanto, a única possibilidade que não gera essa contradição é se , o que significa que .
Resposta
Assim, mostramos que se para todo , então necessariamente .