Prove que se , para todo , então .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que provar que se a distância entre e é menor que qualquer número positivo , ou seja, para todo , então isso necessariamente significa que tem que ser igual a . A gente vai precisar entender um pouquinho sobre limites e a definição formal de limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa. Essa é a definição de limite, onde estamos dizendo que a distância entre e pode ser feita tão pequena quanto quisermos, desde que seja positivo.

Passo 3

Agora, imagine que não seja igual a . Se for diferente de , então será um número positivo fixo, ou seja, uma distância fixa entre e .

Passo 4

Mas, segundo o enunciado, essa distância tem que ser menor que todo e qualquer positivo que a gente escolher. Isso inclui números muito, muito pequenos, como ou até mesmo .

Passo 5

Se é um número positivo fixo, não importa quão pequeno a gente escolha , sempre vai existir um menor que . Isso cria uma contradição, porque a gente não pode ter para todos os se é fixo e positivo.

Passo 6

Portanto, a única possibilidade que não gera essa contradição é se , o que significa que .

Resposta

Assim, mostramos que se para todo , então necessariamente .

Exercícios relacionados

Prove que, para todo ,
Determine se a sequência onde converge.
que , onde .
Mostre que , onde .