Prove que, para todo n in N,
underbraceraiz2+raiz2+raiz2+cdots+raiz2n- radicais <2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para todo número natural , a expressão com radicais aninhados de 2 fica menor que 2. Vamos usar conceitos de sequências e indução matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão:
underbraceraiz2+raiz2+raiz2+cdots+raiz2n radicais
Isso significa que temos camadas de radicais, todas iniciando com o número 2. Queremos mostrar que esse valor nunca chega a 2, fica sempre menor.

Passo 3

A estratégia aqui é usar indução matemática, que é um método para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. A indução tem dois passos:
  1. Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para .
  2. Passo indutivo: Mostrar que se a afirmação é verdadeira para algum , então também é verdadeira para .

Passo 4

Base da Indução ( raiz2 approx 1,414 < 2 ):
Vamos calcular para :
Então, a afirmação é verdadeira para .

Passo 5

Passo Indutivo:
Assumimos que a afirmação é verdadeira para underbraceraiz2+raiz2+raiz2+cdots+raiz2k radicais < 2 , ou seja:
underbraceraiz2+raiz2+raiz2+cdots+raiz2k+1 radicais < 2
Queremos provar que:

Passo 6

Vamos chamar a expressão com ak = underbraceraiz2+raiz2+cdots+raiz2k radicais < 2 radicais de ak+1 = raiz2 + ak . Então:
Agora, a expressão com radicais fica:
Queremos mostrar que .

Passo 7

Como ak+1 = raiz2 + ak < raiz2 + 2 = raiz4 = 2 pela hipótese de indução, substituímos na expressão:
Portanto, , o que completa o passo indutivo.

Passo 8

Como a base da indução é verdadeira e o passo indutivo também foi demonstrado, concluímos que para todo underbraceraiz2+raiz2+raiz2+cdots+raiz2n radicais < 2 :

Resposta

Portanto, para todo , a expressão com radicais de 2 é menor que 2.

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