Mostre que
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite de
, quando
tende ao infinito, não existe. Isso está relacionado ao estudo dos limites e das funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta conforme seu argumento aumenta sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. Quando dizemos que
existe, estamos dizendo que, à medida que
cresce,
se aproxima de um único valor específico. Mas será que isso acontece com a função seno?
Passo 3
A função seno é periódica, o que significa que ela se repete a cada
unidades. Ou seja,
vai oscilar entre -1 e 1 indefinidamente, sem se estabilizar em um único valor conforme
cresce.
Passo 4
Além disso, como
é irracional, os valores de
não vão cair exatamente nos pontos onde a função seno é zero ou atinge seus máximos e mínimos de forma periódica e previsível à medida que
aumenta. Isso faz com que
continue variando sem se aproximar de nenhum valor específico.
Passo 5
Como a função
não se aproxima de um único valor quando
tende ao infinito, podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência
onde
converge.
Prove que a sequência
onde
converge e encontre o seu limite.
Sejam
tal que
e
uma sequência cujo termo geral é definido por
Mostre que
é monótona e limitada, conclua a partir daí que existe
. Além disso mostre que
Seja
é uma sequência periódica de números reais, isto é, existe um
tal que
para todo
natural. Mostre que se
é convergente então
é constante.