Mostre que lim n infty sin (n) não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que o limite de sin(n), quando n tende ao infinito, não existe. Isso está relacionado ao estudo dos limites e das funções periódicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta conforme seu argumento aumenta sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. Quando dizemos que limn infty sin(n) existe, estamos dizendo que, à medida que n cresce, sin(n) se aproxima de um único valor específico. Mas será que isso acontece com a função seno?

Passo 3

A função seno é periódica, o que significa que ela se repete a cada 2pi unidades. Ou seja, sin(n) vai oscilar entre -1 e 1 indefinidamente, sem se estabilizar em um único valor conforme n cresce.

Passo 4

Além disso, como pi é irracional, os valores de n não vão cair exatamente nos pontos onde a função seno é zero ou atinge seus máximos e mínimos de forma periódica e previsível à medida que n aumenta. Isso faz com que sin(n) continue variando sem se aproximar de nenhum valor específico.

Passo 5

Como a função sin(n) não se aproxima de um único valor quando n tende ao infinito, podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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