Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=0^+infty sin (n pi+pi2)1+raizn

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sumn=0^+infty sin (n pi+pi2)1+raizn converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries alternadas e aplicar alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte do seno: sin(n pi + pi2). Sabemos que:
sin(n pi + pi2) = sin(n pi)cos(pi2) + cos(n pi)sin(pi2)
Como sin(n pi) = 0 e cos(pi2) = 0, a expressão simplifica para:
sin(n pi + pi2) = cos(n pi) cdot 1 = (-1)^n
Então, nossa série fica:
sumn=0^+infty (-1)^n1+raizn

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se:
  1. Os termos an são decrescentes, ou seja, an+1 <= an para todo n.
  2. O limite de an quando n tende ao infinito é zero, ou seja, limn to infty an = 0.
No nosso caso, an = 11+raizn.
  1. Decrescimento: Conforme n aumenta, 1+raizn também aumenta, fazendo com que an diminua. Então, an é decrescente.
  2. Limite: limn to infty 11+raizn = 0.
Já que as duas condições são satisfeitas, a série converge pelo Teste da Série Alternada.

Passo 4

Para saber se a convergência é absoluta ou condicional, vamos verificar a série dos valores absolutos:
sumn=0^+infty | (-1)^n1+raizn | = sumn=0^+infty 11+raizn
Vamos comparar essa série com a série sum 1raizn. Sabemos que a série sum 1n^p converge se, e somente se, p > 1. No nosso caso, p = 12 < 1, então sum 1raizn diverge.
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série sumn=0^+infty sin (n pi+pi2)1+raizn converge condicionalmente.

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