Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries alternadas e aplicar alguns testes de convergência, como o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte do seno: . Sabemos que:
Como e , a expressão simplifica para:
Então, nossa série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma converge se:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
No nosso caso, .
  1. Decrescimento: Conforme aumenta, também aumenta, fazendo com que diminua. Então, é decrescente.
  2. Limite: .
Já que as duas condições são satisfeitas, a série converge pelo Teste da Série Alternada.

Passo 4

Para saber se a convergência é absoluta ou condicional, vamos verificar a série dos valores absolutos:
Vamos comparar essa série com a série . Sabemos que a série converge se, e somente se, . No nosso caso, , então diverge.
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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